Matematica in gioco
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Dom Mag 10, 2020 1:35 pm
Ciao ragazzi,
divertitevi anche con questo problema, ma prima completate il quesito "Matricole ambiziose".

******
Problema 0.17. 8. La parola d’ordine (Gara a Squadre 2006 - Finale nazionale)
Il fantasma posto a guardia dell’ingresso della casa di Rapportaureo, cui Hardy, Hermita e Ron
appartengono, permette l’ingresso solo a coloro che sanno risolvere facili quesiti di natura matemagica.
Il fantasma chiede quale sia il più piccolo multiplo intero di 73 tale che il suo quadrato abbia
almeno 63 divisori. Qual è la parola d’ordine?
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Dom Mag 10, 2020 4:54 pm
a me e a Giulio Franca torna 1752, cioè 73 x 24
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Dom Mag 10, 2020 7:56 pm
Complimenti. Ma siete due "mostri". Spiegate ai compagni.
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Dom Mag 10, 2020 7:58 pm
Passiamo a geometria.


Problema 0.20. 5. Geometria Bogon (Gara a Squadre 2006- Semifinale nazionale)
I Bogon hanno scoperto i due autostoppisti sulla loro nave! Ora il sovrintendente Krylov-Bogonlyubov
li ha costretti a risolvere un problema della terribile Geometria Bogon, la seconda peggiore di tutto
l?universo. Hanno di fronte un triangolo ABC con AB = 7623 e BC = 8000. Detto M il punto
medio di BC, sono stati costretti a scegliere punti D, E sui segmenti AC, AB rispettivamente, in
modo che ABMD e ACME siano ciclici. Per liberarsi, devono trovare il massimo valore di AC
tale che BCDE sia ciclico. Qual è questo valore?


N.B.  Per definizione un quadrilatero ciclico è inscrivibile in una circonferenza.
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La parola d'ordine Empty risoluzione problema "La parola d'ordine"

Lun Mag 11, 2020 12:43 pm
Innanzitutto per calcolare il numero di divisori del quadrato dei multipli di 73 abbiamo utilizzato la formula: (a+1)(b+1)(C+1)..., dove a, b e c sono gli esponenti dei fattori del numero scritto in forma fattorizzata. A questo punto abbiamo preso in considerazione i numeri dati dal prodotto di 73 e un numero divisibile sia per 2 che per 3, poichè in questo modo c'era maggiore possibilità che il quadrato di questi numeri avesse una grande quantità di divisori (multipli di 2 e di 3), dato che abbiamo notato che il quadrato del prodotto tra 73 e numeri non divisibili sia per 2 che per 3 aveva molti meno divisori. Dopo una serie di tentativi abbiamo scoperto che il numero che stavamo cercando è 24, perchè il quadrato del suo prodotto con 73 aveva esattamente 63 divisori.

Infatti, dalla fattorizzazione di (73 x 24)2, cioè (1752)2 , si ottiene che questo numero è uguale a 26  x 32 x 732
Quindi, utilizzando la formula citata prima, abbiamo ricavato il numero di divisori di questo numero, che risulta essere (6+1)(2+1)(2+1), cioè esattamente 63.
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Mar Mag 12, 2020 5:41 pm
Per completare la questione da voi così già ben impostata allego anche questa mia soluzione.
La parola d'ordine Solpar10
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Mer Mag 13, 2020 10:02 am
A me , a Giulio Franca e a Federico Pampanelli viene ABC è isoscele su base BC , quindi il valore di AC è 7623.
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Gio Mag 14, 2020 12:08 am
Ok, molto bene: al solito fate una figure e spiegate ai compagni
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Gio Mag 14, 2020 11:02 am
In attesa che completiate "La parola d'ordine", vi propongo il seguente problema.


Sia ABC un triangolo, con ABC = 75 e ACB = 53 . Disegnata la circonferenza circoscritta ad
ABC, siano E il punto medio dell’arco BC non contenente A, e D il punto medio dell’arco BC contenente A. Quanto vale l’angolo AED?
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La parola d'ordine Empty Re: La parola d'ordine

Gio Mag 14, 2020 4:00 pm
Buon pomeriggio Prof Scorsipa, le inviamo la risoluzione del problema: "GEOMETRIA BOGON".


PROBLEMA GEOMETRIA BOGON

Soluzione proposta da Mario Solinas, Giulio Franca e Federico Pampanelli

https://i.servimg.com/u/f67/20/20/95/54/geomet10.png ( link figura)

Risoluzione
Inizialmente abbiamo considerato il quadrilatero ciclico AEMC : AE ̂M + C ̂ = A ̂ + B ̂ C ̂ , AE ̂M = A ̂ + B ̂ . ( In quadrilatero ciclico gli angoli opposti sono supplementari).
Da ciò segue che ME ̂B =C ̂ e EM ̂B= A ̂.

Successivamente considerando il quadrilatero ciclico DEBC:
DE ̂B + C ̂ = A ̂ + B ̂ + C ̂ , DE ̂B =A ̂ + B ̂ .
Da ciò segue che DE ̂A = C ̂ e AD ̂E = B ̂

Consideriamo poi il quadrilatero ciclico ADMB:
AD ̂M +B ̂ = A ̂ + B ̂ + C ̂ , AD ̂M = A ̂ + C ̂ .
Da ciò segue che CD ̂M= B ̂ e CM ̂D =A ̂

Dunque i triangoli AED, MEB,CDM sono simili per il 1CS

In questa parte successiva abbiamo trovato due modi di risoluzione:
1 MODO

Consideriamo i triangoli simili ADE e MEB e otteniamo questa proporzione:

AD:MB=AE:EM → AD:AE=MB:EM ( per la proprietà del permutare) → AD:AE=4000:X ( sostituiamo MB con 4000 e EM con X)

Consideriamo ora i triangoli simili CDM e MEB e otteniamo la seguente proporzione:

MC:EM= DC:EB→ 4000:X= DC:EB (sostituiamo MC con 4000 e EM con X)

Uguagliamo le seguenti uguaglianze precedenti e otteniamo la seguente proporzione:
AD:AE= DC:EB → AD:DC= AE:EB ( per la proprietà del permutare)
Quindi per il 2 Corollario del Teorema di Talete DE//BC

Consideriamo infine gli angoli EM ̂B e DE ̂M, essi sono congruenti in quanto alterni interni rispetto alle rette parallele DE e BC.
Segue che DE ̂B = A ̂ + C ̂ , ma DE ̂B= A ̂ + B ̂ e quindi C ̂=B ̂.
Infine concludiamo che ABC è isoscele su base BC, quindi AC= 7623.

2 MODO

Consideriamo i triangoli simili ADE e MEB e otteniamo questa proporzione:

AD:MB=AE:EM → AD:AE=MB:EM ( per la proprietà del permutare)

Consideriamo ora i triangoli simili CDM e MEB e otteniamo la seguente proporzione:
CD:EB= CM:EM → DC:EB= MB:EM ( MB=CM)
Quindi per la proprietà transitiva :
AD:AE= DC:EB→ AD:DC= AE:EB
Abbiamo quindi ottenuto la stessa proporzione del 1 MODO.
Arrivati a questo punto ,ciò che segue della dimostrazione è analogo a quello precedente.

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Gio Mag 14, 2020 5:57 pm
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