Quante Frazioni?

Ven Mag 08, 2020 8:41 am

16. Matricole ambiziose (Gara a Squadre 2006 - Finale nazionale)
Le matricole della Scuola Matemagica Superiore sono destinate alla loro casa di appartenenza a seconda delle loro attitudini matemagiche.
Quest'anno, per entrare nell'ambita casa di Rapportaureo, era necessario trovare la somma di tutti i razionali positivi che, ridotti ai minimi termini, hanno la forma a/30, e che sono minori di 10.
Che risposta hanno dato le matricole di Rapportaureo?

Ven Mag 08, 2020 8:40 pm

Ricordatevi delle progressioni aritmetiche!!

Sab Mag 09, 2020 5:35 pm

buonasera prof, io e Mario Solinas abbiamo fatto alcune considerazioni: abbiamo capito che a deve essere compresa tra 0 e 300 ( esclusi). inoltre dato che la frazione deve essere ridotta ai minimi termini, bisogna escludere i multipli di 2,3 e 5. Forse siamo anche riusciti a calcolare i numeri compresi tra 0 e 300 che non sono multipli di 2,3 e 5, ma non sappiamo come calcolare la somma.

Sab Mag 09, 2020 11:41 pm

Occorre, come avete giustamente immaginato, escludere i valori di a la cui scomposizione in fattori primi contiene i fattori 2, 3, 5.
In quel che segue si fa riferimento alla somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
S = n(a1 + an)/n
dove a1 e an sono il primo e l’ultimo termine.
La somma dei numeratori pari delle frazioni a/30 minori di 300, è: ...
proseguite con quella dei multipli di 3
poi fate attenzione alle "intersezioni" che ripetono valori già contati...
attendo

Dom Mag 10, 2020 12:12 pm

forse ci siamo riusciti: torna 12000/30, ovvero 400

Dom Mag 10, 2020 1:28 pm

Bravi!
Ora spiegate ai compagni il procedimento che avete seguito per giungere al risultato in modo che tutti capiscano.

Dom Mag 10, 2020 3:56 pm

Soluzione proposta da Mario Solinas e Federico Pampanelli

Inizialmente abbiamo messo a sistema le disequazioni a/30 minore di 10 e a maggiore di zero . Risolvendolo si ottiene che a è compreso tra 0 e 300 esclusi. Usando la formula della progressione aritmetica : n( a1 +an)/2 , nel nostro caso si ottiene 299(299+1)/2= 44850. Così otteniamo la somma dei numeratori che è uguale ad a, mentre la frazione è 44850/30.
In questa somma però bisogna escludere tutti multipli di 2,3,5. Calcoliamo quindi prima il numero dei multipli di 2,3,5. Essendo 299 i numeri : i multipli di 2 saranno 299:2= 149 ( arrotondato per difetto ), i multipli di 3 saranno 299:3= 99 ( arrotondato per difetto) e i multipli di 5 saranno 299:5= 59. Tra questi bisogna considerare una sola volta le intersezioni di questi 3 insiemi. Le intersezioni sono: multipli 2,3,5 =9 numeri, multipli 2,5 = 20, multipli di 3,5 =10, multipli 3,2= 40. La somma di tutti i numeri I multipli di 5 ( senza escludere nessuna intersezione) è uguale ,utilizzando la formula della progressione aritmetica,
a 59(295/30 +5/30) : 2 = 8850/30 ;
La somma di tutti i multipli di 2 ( escluse le intersezioni con 5 e con 2,3,5) è pari a 120( 298/30 + 2/30) :2 = 18000/30 ;
La somma di tutti i multipli di 3 ( senza considerare nessuna intersezione) è pari a 40( 297/30 + 3/30):2 = 6000/30

Quindi sommando i multipli di 2, 3,5 otteniamo: 8850/30 + 18000/30 + 6000/30 = 32850/30

Infine togliamo a 44850/30 la somma ottenuta: 44850/30 - 32850/30 = 12000/30= 400.

Dom Mag 10, 2020 7:54 pm

Ottimo. Originale rispetto alla mia risoluzione.

Essendo:
a/30 < 10
allora deve essere :
a < 300
Occorre escludere i valori di a la cui scomposizione in fattori primi contiene i fattori 2, 3, 5.
In quel che segue si fa riferimento alla somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
S = n(a1 + an)/2
dove a1 e an sono il primo e l’ultimo termine.
La somma dei numeratori pari delle frazioni a
30 minori di 300, è:
2 + 4 + · · · + 298 = 300 x 149/2 = 22.350.
La somma dei numeratori multipli di 3 ma non pari è:
3 + 9 + · · · + 297 = 300 x50/2 = 7.500.
La somma dei numeratori multipli di 5 non pari e non multipli di 3 (di 30 in 30) è data dalle somme:
5 + 35 + · · · + 275 = 300x 10/2 = 1.500
25 + 55 + · · · + 265 = 300 x 10/2 = 1.500
La somma di tutti i numeratori minori di 300 è:
1 + 2 + · · · + 299 = 300 x 299/2 = 44.850.
Essendo
44.850 − (22.350 + 7.500 + 1.500 + 1.500) = 12.000
la somma richiesta è pertanto:
12.000/30 = 400.

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